Как умножать десятичные цифры столбиком. Умножение десятичных дробей: правила, примеры, решения

1 урок

1. Организационный момент

Проверить готовность учащихся к уроку.

(Наличие учебных принадлежностей к уроку)

I .Актуализация знаний

Устная работа.

Цель: Систематизировать предыдущие знания,необходимые при изучении нового материала.

Учащиеся устно выполняют задания на умножение десятичной дроби на натуральное число и на умножение обыкновенных дробей..

Вычислите:

Затем учитель задает вопрос:Сформулируйте как выполнить умножение десятичной дроби на натуральное число?Учащиеся вспоминают определение.Сообщаются тема урока и цели урока.

II .Одновременное разделение на группы и на пары.

Учащиеся выбирают по одной карточке со стола учителя. На одних из них записаны примеры на действия с обыкновенными дробями, а на других соответствующие ответы. Они должны будут найти соответствия, и разделится на пары.Если же будут работать в группах,то разделятся таким образом:

1 группа- это учащиеся, которым попались примеры,2 группа- это те учащиеся, у которых окажутся соответствующие ответы.(см.Приложение №1)

III .Изучение новогоматериала

Цель: Познакомить учащихся с новым материалом.

Объяснение учителя:

3.1.Групповая работа.

Цель: Самостоятельно решив задачу двумя способами сформулировать правилоумножения десятичной дроби на десятичную дробь.

Учащимся предлагается следующая задача:

Длина прямоугольника 6,3см, ширина 2,8см. Найдите его площадь.

Каждая группа выполняет данное задание по указанному ей предложенному способу.

Способ 1: Записать числовые значения измерений прямоугольника в виде натуральных чисел, выразив в миллиметрах. Вычислять площадь и полученный ответ выразить в квадратных сантиметрах.

Способ 2: Представить измерения прямоугольника в виде обыкновенных дробей, найти площадь, перемножив обыкновенные дроби и перевести в десятичную дробь.

Затем представитель каждой группы объясняет решение данного примера учащимся другой группы у доски. Учащиеся обмениваются мнениями и из результатов решения задачи делают вывод:

Сколько десятичных знаков в множителях, столько же и десятичных знаков в их произведении.

Затем учитель комментирует работу групп, подводит итоги и делает вывод.

Учащиеся записывают в тетрадях для конспектов.

Вывод: Чтобы умножить десятичные дроби надо:

1)выполнить умножение, не обращая внимания на запятые;

2)отделить в полученном произведении запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

3.2 Разбор различных примеров.

Цель: Дальнейшая отработка умений выполнять умножение десятичных дробей.

Умножим данные числа не обращая внимания на запятые, получим в произведении число 20 496. В двух множителях после запятой всего имеется три десятичных знака. Поэтому в произведении нужно отделить справа три цифры.Итак, произведение равно 20,496.

VI .Решение задач

Цель: Отработка умений применять правило умножения десятичных дробей при решении задач.

Учащиеся работают в парах.

Выполняют задания: №812 ,№814

VII . Подведение итогов урока. Рефлексия

Цель: Выяснить достигли ли учащиеся целей урока,чтобы учесть при планировании следующего урока.

Действия ученика : Обобщив свои знания, отвечают на вопросы.

Вопросы для подведения итогов .(Устно).

1. Чему мы сегодня научились на уроке?

2. Какую цель мы сегодня на уроке изучили?

3. Повторим правило умножения десятичных дробей.

В конце урока учащиеся дают рефлексию:

Урок понравился / не понравился

Цель урока понял / не понял

Что узнал, чему научился______________________________

Что не понял полностью _______________________________

Над чем надо поработать_______________________________

Оценивание: Учитель поощряет ответы и работы учеников.

Задание на дом: №813 № 815

Как обычные числа.

2. Считаем число знаков после запятой у 1-ой десятичной дроби и у 2-ой. Их число складываем.

3. В итоговом результате отсчитываем справа налево такое число цифр, сколько получилось их в пункте выше, и ставим запятую.

Правила умножения десятичных дробей.

1. Умножить, не обращая внимания на запятую.

2. В произведении отделяем после запятой такое количество цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

Умножая десятичную дробь на натуральное число, необходимо:

1. Умножить числа, не обращая внимания на запятую;

2. В результате ставим запятую так, чтобы справа от нее было столько цифр, сколько в десятичной дроби.

Умножение десятичных дробей столбиком.

Рассмотрим на примере:

Записываем десятичные дроби в столбик и умножаем их как натуральные числа , не обращая внимания на запятые. Т.е. 3,11 мы рассматриваем как 311, а 0,01 как 1.

Результатом является 311. Далее считаем число знаков (цифр) после запятой у обеих дробей. В 1-ой десятичной дроби 2 знака и во 2-рой - 2. Общее число цифр после запятых:

2 + 2 = 4

Отсчитываем справа налево четыре знака у результата. В итоговом результате цифр меньше, чем нужно отделить запятой. В этом случае необходимо слева дописать не хватающее количество нулей.

В нашем случае не достает 1-ой цифры, поэтому дописываем слева 1 ноль.

Обратите внимание:

Умножая любую десятичную дробь на 10, 100, 1000 и так далее, запятая в десятичной дроби переносится вправо на столько знаков, сколько нулей после единицы.

Например :

70,1 . 10 = 701

0,023 . 100 = 2,3

5,6 . 1 000 = 5 600

Обратите внимание:

Для умножения десятичной дроби на 0,1; 0,01; 0,001; и так далее, нужно в этой дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей перед единицей.

Считаем и ноль целых!

Например:

12 . 0,1 = 1,2

0,05 . 0,1 = 0,005

1,256 . 0,01 = 0,012 56

В курсе средней и старшей школы учащиеся проходили тему «Дроби». Однако это понятие гораздо шире, чем дается в процессе обучения. Сегодня понятие дроби встречается достаточно часто, и не каждый может провести вычисления какого-либо выражения, к примеру, умножение дробей.

Что такое дробь?

Так исторически сложилось, что дробные числа появились из-за необходимости измерять. Как показывает практика, часто встречаются примеры на определение длины отрезка, объема прямоугольного прямоугольника.

Первоначально ученики знакомятся с таким понятием, как доля. К примеру, если разделить арбуз на 8 частей, то каждому достанется по одной восьмой арбуза. Вот эта одна часть из восьми и называется долей.

Доля, равная ½ от какой-либо величины, называется половиной; ⅓ - третью; ¼ - четвертью. Записи вида 5 / 8 , 4 / 5 , 2 / 4 называют обыкновенными дробями. Обыкновенная дробь разделяется на числитель и знаменатель. Между ними находится черта дроби, или дробная черта. Дробную черту можно нарисовать в виде как горизонтальной, так и наклонной линии. В данном случае она обозначает знак деления.

Знаменатель представляет, на сколько одинаковых долей разделяют величину, предмет; а числитель - сколько одинаковых долей взято. Числитель пишется над дробной чертой, знаменатель - под ней.

Удобнее всего показать обыкновенные дроби на координатном луче. Если единичный отрезок разделить на 4 равные доли, обозначить каждую долю латинской буквой, то в результате можно получить отличное наглядное пособие. Так, точка А показывает долю, равную 1 / 4 от всего единичного отрезка, а точка В отмечает 2 / 8 от данного отрезка.

Разновидности дробей

Дроби бывают обыкновенные, десятичные, а также смешанные числа. Кроме того, дроби можно разделить на правильные и неправильные. Эта классификация больше подходит для обыкновенных дробей.

Под правильной дробью понимают число, у которого числитель меньше знаменателя. Соответственно, неправильная дробь - число, у которого числитель больше знаменателя. Второй вид обычно записывают в виде смешанного числа. Такое выражение состоит из целой и дробной части. Например, 1½. 1 - целая часть, ½ - дробная. Однако если нужно провести какие-то манипуляции с выражением (деление или умножение дробей, их сокращение или преобразование), смешанное число переводится в неправильную дробь.

Правильное дробное выражение всегда меньше единицы, а неправильное - больше либо равно 1.

Что касается то под этим выражением понимают запись, в которой представлено любое число, знаменатель дробного выражения которого можно выразить через единицу с несколькими нулями. Если дробь правильная, то целая часть в десятичной записи будет равна нулю.

Чтобы записать десятичную дробь, нужно сначала написать целую часть, отделить ее от дробной с помощью запятой и потом уже записать дробное выражение. Необходимо помнить, что после запятой числитель должен содержать столько же цифровых символов, сколько нулей в знаменателе.

Пример . Представить дробь 7 21 / 1000 в десятичной записи.

Алгоритм перевода неправильной дроби в смешанное число и наоборот

Записывать в ответе задачи неправильную дробь некорректно, поэтому ее нужно перевести в смешанное число:

• разделить числитель на имеющийся знаменатель;
• в конкретном примере неполное частное - целое;
• и остаток - числитель дробной части, причем знаменатель остается неизменным.

Пример . Перевести неправильную дробь в смешанное число: 47 / 5 .

Решение . 47: 5. Неполное частное равняется 9, остаток = 2. Значит, 47 / 5 = 9 2 / 5 .

Иногда нужно представить смешанное число в качестве неправильной дроби. Тогда нужно воспользоваться следующим алгоритмом:

• целая часть умножается на знаменатель дробного выражения;
• полученное произведение прибавляется к числителю;
• результат записывается в числителе, знаменатель остается неизменным.

Пример . Представить число в смешанном виде в качестве неправильной дроби: 9 8 / 10 .

Решение . 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - числитель.

Ответ : 98 / 10.

Умножение дробей обыкновенных

Над обыкновенными дробями можно совершать различные алгебраические операции. Чтобы перемножить два числа, нужно числитель перемножить с числителем, а знаменатель со знаменателем. Причем умножение дробей с разными знаменателямине отличается от произведения дробных чисел с одинаковыми знаменателями.

Случается, что после нахождения результата нужно сократить дробь. В обязательном порядке нужно максимально упростить получившееся выражение. Конечно, нельзя сказать, что неправильная дробь в ответе - это ошибка, но и назвать верным ответом ее тоже затруднительно.

Пример . Найти произведение двух обыкновенных дробей: ½ и 20 / 18 .

Как видно из примера, после нахождения произведения получилась сократимая дробная запись. И числитель, и знаменатель в данном случае делится на 4, и результатом выступает ответ 5 / 9 .

Умножение дробей десятичных

Произведение десятичных дробей довольно сильно отличается от произведения обыкновенных по своему принципу. Итак, умножение дробей заключается в следующем:

• две десятичные дроби нужно записать друг под другом так, чтобы крайние правые цифры оказались одна под другой;
• нужно перемножить записанные числа, несмотря на запятые, то есть как натуральные;
• подсчитать количество цифр после знака запятой в каждом из чисел;
• в получившемся после перемножения результате нужно отсчитать справа столько цифровых символов, сколько содержится в сумме в обоих множителях после запятой, и поставить отделяющий знак;
• если цифр в произведении оказалось меньше, тогда перед ними нужно написать столько нулей, чтобы покрыть это количество, поставить запятую и приписать целую часть, равную нулю.

Пример . Вычислить произведение двух десятичных дробей: 2,25 и 3,6.

Решение .

Умножение смешанных дробей

Чтобы вычислить произведение двух смешанных дробей, нужно использовать правило умножения дробей:

• перевести числа в смешанном виде в неправильные дроби;
• найти произведение числителей;
• найти произведение знаменателей;
• записать получившийся результат;
• максимально упростить выражение.

Пример . Найти произведение 4½ и 6 2 / 5.

Умножение числа на дробь (дроби на число)

Помимо нахождения произведения двух дробей, смешанных чисел, встречаются задания, где нужно помножить на дробь.

Итак, чтобы найти произведение десятичной дроби и натурального числа, нужно:

• записать число под дробью так, чтобы крайние правые цифры оказались одна над другой;
• найти произведение, несмотря на запятую;
• в полученном результате отделить целую часть от дробной с помощью запятой, отсчитав справа то количество знаков, которое находится после запятой в дроби.

Чтобы умножить обыкновенную дробь на число, следует найти произведение числителя и натурального множителя. Если в ответе получается сократимая дробь, ее следует преобразовать.

Пример . Вычислить произведение 5 / 8 и 12.

Решение . 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

Ответ : 7 1 / 2.

Как видно из предыдущего примера, необходимо было сократить получившийся результат и преобразовать неправильное дробное выражение в смешанное число.

Также умножение дробей касается и нахождения произведения числа в смешанном виде и натурального множителя. Чтобы перемножить эти два числа, следует целую часть смешанного множителя умножить на число, числитель помножить на это же значение, а знаменатель оставить неизменным. Если требуется, нужно максимально упростить получившийся результат.

Пример . Найти произведение 9 5 / 6 и 9.

Решение . 9 5 / 6 х 9 = 9 х 9 + (5 х 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

Ответ : 88 1 / 2.

Умножение на множители 10, 100, 1000 или 0,1; 0,01; 0,001

Из предыдущего пункта вытекает следующее правило. Для умножения дроби десятичной на 10, 100, 1000, 10000 и т. д. нужно передвинуть запятую вправо на столько символов цифр, сколько нулей во множителе после единицы.

Пример 1 . Найти произведение 0,065 и 1000.

Решение . 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Ответ : 65.

Пример 2 . Найти произведение 3,9 и 1000.

Решение . 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Ответ : 3900.

Если нужно перемножить натуральное число и 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д., следует передвинуть влево запятую в получившемся произведении на столько символов цифр, сколько нулей находится до единицы. Если необходимо, перед натуральным числом записываются нули в достаточном количестве.

Пример 1 . Найти произведение 56 и 0,01.

Решение . 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Ответ : 0,56.

Пример 2 . Найти произведение 4 и 0,001.

Решение . 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Ответ : 0,004.

Итак, нахождение произведения различных дробей не должно вызывать затруднений, разве что подсчет результата; в таком случае без калькулятора просто не обойтись.

Чтобы понять, как умножать десятичные дроби, рассмотрим конкретные примеры.

Правило умножения десятичных дробей

1) Умножаем, не обращая внимания на запятую.

2) В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе.

Примеры .

Найти произведение десятичных дробей:

Чтобы умножить десятичные дроби, умножаем, не обращая внимания на запятые. То есть мы умножаем не 6,8 и 3,4, а 68 и 34. В результате отделяем после запятой столько цифр, сколько их после запятых в обоих множителях вместе. В первом множителе после запятой одна цифра, во втором — тоже одна. Итого, отделяем после запятой две цифры.Таким образом, получили окончательный ответ: 6,8∙3,4=23,12.

Умножаем десятичные дроби, не принимая во внимание запятую. То есть фактически вместо умножения 36,85 на 1,14 мы умножаем 3685 на 14. Получаем 51590. Теперь в этом результате надо отделить запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой две цифры, во втором — одна. Итого, отделяем запятой три цифры. Поскольку в конце записи после запятой стоит нуль, в ответ мы его не пишем: 36,85∙1,4=51,59.

Чтобы умножить эти десятичные дроби, умножим числа, не обращая внимания на запятые. То есть умножаем натуральные числа 2315 и 7. Получаем 16205. В этом числе нужно отделить после запятой четыре цифры — столько, сколько их в обоих множителях вместе (в каждом — по два). Окончательный ответ: 23,15∙0,07=1,6205.

Умножение десятичной дроби на натуральное число выполняется аналогично. Умножаем числа, не обращая внимания на запятую, то есть 75 умножаем на 16. В полученном результате после запятой должно стоять столько же знаков, сколько их в обоих множителях вместе — один. Таким образом, 75∙1,6=120,0=120.

Умножение десятичных дробей начинаем с того, что умножаем натуральные числа, так как на запятые не обращаем внимания. После этого отделяем после запятой столько цифр, сколько их в обоих множителях вместе. В первом числе после запятой два знака, во втором — тоже два. Итого, в результате после запятой должно стоять четыре цифры: 4,72∙5,04=23,7888.

§ 1 Применение правило умножения десятичных дробей

В этом уроке Вы познакомитесь и научитесь применять правило умножения десятичных дробей и правило умножения десятичной дроби на разрядную единицу, такую как 0,1, 0,01 и т.д. Кроме того, мы рассмотрим свойства умножения при нахождении значений выражений, содержащих десятичные дроби.

Решим задачу:

Скорость движения автомобиля составляет 59,8 км/ч.

Какой путь преодолеет автомобиль за 1,3 часа?

Как известно, чтобы найти путь, необходимо скорость умножить на время, т.е. 59,8 умножить на 1,3.

Давайте запишем числа в столбик и начнем их перемножать, не замечая запятых: 8 умножить на 3, будет 24, 4 пишем 2 в уме, 3 умножить на 9 это 27, да еще плюс 2, получаем 29, 9 пишем, 2 в уме. Теперь 3 умножаем на 5, будет 15 и еще прибавляем 2, получаем 17.

Переходим ко второй строке: 1 умножить на 8, будет 8, 1 умножить на 9, получаем 9, 1 умножить на 5, получаем 5, складываем эти две строчки, получаем 4, 9+8 равно 17, 7 пишем 1 в уме, 7+9 это 16 да еще 1, будет 17, 7 пишем 1 в уме, 1+5 да еще 1 получаем 7.

А теперь посмотрим, сколько знаков после запятых стоит в обеих десятичных дробях! В первой дроби одна цифра после запятой и во второй дроби одна цифра после запятой, всего два знака. Значит, справа в полученном результате нужно отсчитать две цифры и поставить запятую, т.е. будет 77,74. Итак, при умножении 59,8 на 1,3 получили 77,74. Значит ответ в задаче 77,74 км.

Таким образом, чтобы перемножить две десятичные дроби надо:

Первое: выполнить умножение, не обращая внимания на запятые

Второе: в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе.

Если же цифр в полученном произведении меньше, чем надо отделить запятой, то тогда впереди необходимо приписать один или несколько нулей.

Например: 0,145 умножить на 0,03 у нас в произведении получается 435, а запятой необходимо отделить 5 цифр справа, поэтому мы приписываем перед цифрой 4 еще 2 нуля, ставим запятую и приписываем еще один нуль. Получаем ответ 0,00435.

§ 2 Свойства умножения десятичных дробей

При умножении десятичных дробей сохраняются все те же свойства умножения, что действуют для натуральных чисел. Давайте выполним несколько заданий.

Задание №1:

Решим данный пример, применив распределительное свойство умноженияотносительно сложения.

5,7 (общий множитель) вынесем за скобку, в скобках останется 3,4 плюс 0,6. Значение этой суммы равно 4, и теперь 4 надо умножить на 5,7, получаем 22,8.

Задание № 2:

Применим переместительное свойство умножения.

2,5 сначала умножим на 4, получим 10 целых, а теперь нужно 10 умножить на 32,9 и получаем 329.

Кроме этого, при умножении десятичных дробей можно заметить следующее:

При умножении числа на неправильную десятичную дробь, т.е. большую или равную 1, оно увеличивается или не изменяется, например:

При умножении числа на правильную десятичную дробь, т.е. меньшую 1, оно уменьшается, например:

Давайте решим пример:

23,45 умножить на 0,1.

Мы должны 2 345 умножить на 1 и отделить три знака запятой справа, получим 2,345.

Теперь давайте решим другой пример: 23,45 разделить на 10, мы должны перенести запятую влево на один знак, потому что 1 ноль в разрядной единице, получим 2,345.

Из этих двух примеров можно сделать вывод, что умножить десятичную дробь на 0,1, 0,01, 0,001 и т. д. это значит разделить число на 10, 100, 1000 и т.д., т.е. надо в десятичной дроби перенести запятую влево на столько знаков, сколько нулей стоит перед 1 во множителе.

Используя полученное правило, найдем значения произведений:

13,45 умножить на 0,01

перед цифрой 1 стоит 2 нуля, поэтому перенесем запятую влево на 2 знака, получим 0,1345.

0,02 умножить на 0,001

перед цифрой 1 стоит 3 нуля, значит переносим запятую на три знака влево, получаем 0,00002.

Таким образом, в этом уроке Вы научились перемножать десятичные дроби. Для этого нужно всего лишь выполнить умножение, не обращая внимания на запятые, и в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. Кроме того, познакомились с правилом умножения десятичной дроби на 0,1, 0,01 и т.д., а также рассмотрели свойства умножения десятичных дробей.

Список использованной литературы:

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И. и др. 31-е изд., стер. - М: 2013.
2. Дидактические материалы по математике 5 класс. Автор - Попов М.А. - 2013 год
3. Вычисляем без ошибок. Работы с самопроверкой по математике 5-6 классы. Автор - Минаева С.С. - 2014 год
4. Дидактические материалы по математике 5 класс. Авторы: Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В. - 2010 год
5. Контрольные и самостоятельные работы по математике 5 класс. Авторы - Попов М.А. - 2012 год
6. Математика. 5 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович. - 9-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009